Equilíbrio de Nash
O conceito central de solução em jogos não-cooperativos é o Equilíbrio de Nash (NE). Definido por John Nash em 1950, este conceito captura a ideia de estabilidade estratégica: um estado onde nenhum jogador se arrepende de sua escolha, dadas as escolhas dos demais.
Definição Formal
Seja $G = \langle N, (S_i), (u_i) \rangle$ um jogo na forma normal. Um perfil de estratégias $s^* = (s^*_1, ..., s^*_n) \in S$ é um Equilíbrio de Nash em Estratégias Puras se, para todo jogador $i \in N$ e para toda estratégia alternativa $s_i \in S_i$:
$$u_i(s^*_i, s^*_{-i}) \geq u_i(s_i, s^*_{-i})$$Onde $s^*_{-i}$ denota o perfil de estratégias de todos os jogadores exceto $i$. Em termos de Melhor Resposta (Best Response), definimos a correspondência de melhor resposta $BR_i(s_{-i})$ como:
$$BR_i(s_{-i}) = \{s_i \in S_i \mid u_i(s_i, s_{-i}) \geq u_i(s'_i, s_{-i}), \forall s'_i \in S_i\}$$Um perfil $s^*$ é um Equilíbrio de Nash se e somente se $s^*_i \in BR_i(s^*_{-i})$ para todo $i$. Ou seja, todas as estratégias são mutuamente ótimas respostas.
Existência e Multiplicidade
Nem todo jogo possui um Equilíbrio de Nash em estratégias puras. Considere o jogo Matching Pennies (Cara ou Coroa simétrico):
| Cara (H) | Coroa (T) | |
|---|---|---|
| Cara (H) | $1, -1$ | $-1, 1$ |
| Coroa (T) | $-1, 1$ | $1, -1$ |
Neste jogo de soma zero, não há célula estável. Se o Jogador 1 joga H, o Jogador 2 prefere T. Se 2 joga T, 1 prefere T, e assim por diante. O ciclo de melhores respostas nunca fecha em um único perfil puro.
Por outro lado, jogos podem ter múltiplos equilíbrios. Considere a Batalha dos Sexos (ou Coordenação):
| Ópera (O) | Futebol (F) | |
|---|---|---|
| Ópera (O) | $3, 2$ | $0, 0$ |
| Futebol (F) | $0, 0$ | $2, 3$ |
Aqui, tanto $(O, O)$ quanto $(F, F)$ são Equilíbrios de Nash. Isso levanta o problema da seleção de equilíbrio, que será tratado posteriormente.
Ineficiência
Como visto no Dilema do Prisioneiro, a existência de um NE não garante eficiência de Pareto. Em jogos de bens públicos ou competição de Cournot, é comum que o equilíbrio resulte em payoffs inferiores ao ótimo social.
Nota: A definição de NE exige apenas que o desvio unilateral não seja estritamente vantajoso. Desvios que mantêm o payoff igual (indiferença) são permitidos.