Duopólio de Cournot

Descrição do Problema

Duas empresas ($i=1,2$) competem produzindo um bem homogêneo. Elas escolhem a quantidade $q_i$ a produzir simultaneamente. O preço de mercado depende da oferta total $Q = q_1 + q_2$.

• Demanda Inversa: $P(Q) = a - bQ$ (onde $a > c$ e $b > 0$).
• Custo Marginal: Constante $c$ para ambas.
• Lucro: $\pi_i = P(Q)q_i - cq_i = (a - b(q_1+q_2) - c)q_i$.

Derivação Analítica

A empresa 1 maximiza $\pi_1$ em relação a $q_1$:

$$\max_{q_1} [ (a - c)q_1 - bq_1^2 - bq_1q_2 ]$$

Condição de Primeira Ordem (CPO):

$$\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = (a - c) - 2bq_1 - bq_2 = 0$$

Isolando $q_1$, encontramos a Função de Melhor Resposta (Reaction Function) $BR_1(q_2)$:

$$q_1 = \frac{a - c - bq_2}{2b}$$

Por simetria, para a empresa 2:

$$q_2 = \frac{a - c - bq_1}{2b}$$

Resolvendo o sistema linear, encontramos o Equilíbrio de Nash Cournot:

• Quantidade Ind.: $q^*_1 = q^*_2 = \frac{a - c}{3b}$
• Quantidade Total: $Q^* = \frac{2(a-c)}{3b}$
• Preço: $P^* = \frac{a + 2c}{3}$

Simulação de Mercado