Falcão e Pombo
Descrição do Problema
Em uma disputa biológica por um recurso de valor $V$, dois indivíduos podem adotar o comportamento:
- Falcão (H): Luta pelo recurso até vencer ou se ferir.
- Pombo (D): Exibe agressividade mas recua se atacado; se o outro também é pombo, dividem o recurso.
Custos e Benefícios:
- $V$: Valor do recurso.
- $C$: Custo do ferimento ao perder uma luta ($C > V$).
Matriz de Fitness (Payoff)
| Falcão (H) | Pombo (D) | |
|---|---|---|
| Falcão | $\frac{V-C}{2}$ | $V$ |
| Pombo | $0$ | $\frac{V}{2}$ |
Análise Evolutiva (ESS)
Se a população for 100% Pombos, um Falcão mutante ganha $V$ contra todos (média $\frac{V}{2}$). Como $V >
\frac{V}{2}$, Falcão invade.
Se a população for 100% Falcões, fitness médio é $\frac{V-C}{2}$
(negativo). Um Pombo mutante obtém 0. Como $0 > \text{negativo}$, Pombo invade.
Conclusão: Nenhuma estratégia pura é ESS. O sistema evolui para um polimorfismo (mistura estável).
Frequência de Equilíbrio
Seja $p$ a proporção de Falcões. No equilíbrio estável, o fitness esperado das estratégias se iguala:
$$p^* = \frac{V}{C}$$Se $V=2, C=4$, então $p^* = 0.5$. 50% da população será agressiva.
Simulação Evolutiva
Frequência de Equilíbrio (ESS) de Falcões ($p^* = V/C$)
Com $V < C$, a população evolui para uma mistura estável onde nem todos lutam.